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日志

奥数比赛,难题求解(五) --- 综合法题解

热度 1已有 764 次阅读2015-7-30 20:29 |个人分类:逻辑分析|系统分类:原创博文 | 宽屏 请点击显示宽屏,再点击恢复窄屏 | 动漫全图 如只见部分动漫,请点击显示全图,再点击恢复窄图

原题可见:《奥数比赛,难题求解(一) --- 题目
题解可见:《奥数比赛,难题求解(二) --- 题解
中间证明:《奥数比赛,难题求解(三) --- 证明中间条件
初始证明:《奥数比赛,难题求解(四) --- 证明初始条件

上面,我们用逐步分析的方法,从结论推到了条件,证明了题目。下面我们用综合方法,由初始条件推出结论,而再次给出题解。

题目:

  第3

   在锐角三角形ABC中,AB>AC,设r是它的外接圆,H是它的垂心,F是由顶点A处所引高的垂足,M是边BC的中点,Qr上的一点,使得 HQA=90°Kr上的一点,使得∠HKQ=90°。已知点ABCKQ互不相同,且按此顺序排列在r上,证明:三角形KQH的外接圆和三角FKM的外接圆相切。


证明:

1). 延长AHF与圆交于D,则:HF=DF三角形的垂心到一边的距离,等于这边上的高线的延长线从垂足到外接圆的长度)。过D,H,K三点做圆,其圆心为P,P在BC延长线上

2).  A',Q'分别为圆r上点 A,Q 的对称点,则:KHQ’三点共线QHMA’四点共线

KHQ’三点共线是因为QQ’是直径,所以Q'KKQ,又由题目:HKKQ,过一点K,KQ的垂线只有一条

同理,QHA’三点共线,由于四边形BHCA’是平行四边形,所以:M也在这条直线上


3).  中虚线大圆DHK和红色小圆HKQ,相交于H,K两点。我们证明:PHHQ,即PH切小圆于H。

过H点做:直线RHTPH,相交于圆r于R,T,则RHT切圆KHD于切点H。于是:RHK=HDK(弦切角定理)=ADK=AQ’K,于是: AQ’RT
显而易见:AQ’QA’(因为AA'和QQ’分别是圆的直径),所以:QA’RT。又因为:QHMA’四点共线;所以过H点的两条平行直线:QHMA’RHT共线,于是:PHHQ,

4).  由:HQ是小圆直径,PHHQ,于是:PH切小圆于H,从而PK切小圆于K。下面来证明PK与紫色中圆相切于K。

事实上,因为,P在BC的延长线上,且:PHHQ,AFBC, 所以:ΔPHFΔPMH,PH:PM=PF:PH,即:PH2=PF*PM。而PK=PH,所以:PK2=PF*PM,根据圆的割线定理,则PK相切圆MFK于K。证毕。



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发表评论 评论 (1 个评论)

回复 城市达人 2015-8-1 10:54
所有的定理都到了思路的出口,你争我夺,结果谁都没出去,题目也就没答出来.

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