日志
题解可见：《奥数比赛，难题求解（二） --- 题解》
中间证明：《奥数比赛，难题求解（三） --- 证明中间条件》
初始证明：《奥数比赛，难题求解（四） --- 证明初始条件》
上面，我们用逐步分析的方法，从结论推到了条件，证明了题目。下面我们用综合方法，由初始条件推出结论，而再次给出题解。
题目：
第3题
在锐角三角形ABC中，AB>AC，设r是它的外接圆，H是它的垂心，F是由顶点A处所引高的垂足，M是边BC的中点，Q是r上的一点，使得 ∠HQA=90°。K是r上的一点，使得∠HKQ=90°。已知点A、B、C、K、Q互不相同，且按此顺序排列在r上，证明：三角形KQH的外接圆和三角形FKM的外接圆相切。
证明：
1）. 延长AHF与圆交于D，则：HF=DF（三角形的垂心到一边的距离，等于这边上的高线的延长线从垂足到外接圆的长度）。过D,H，K三点做圆，其圆心为P，P在BC延长线上。
2）. A'，Q'分别为圆r上点 A，Q 的对称点，则：KHQ’三点共线；QHMA’四点共线；
KHQ’三点共线是因为QQ’是直径，所以Q'K⊥KQ，又由题目：HK⊥KQ，过一点K，KQ的垂线只有一条；
同理，QHA’三点共线，由于四边形BHCA’是平行四边形，所以：M也在这条直线上。
3）. 中虚线大圆DHK和红色小圆HKQ，相交于H，K两点。我们证明：PH⊥HQ，即PH切小圆于H。
过H点做：直线RHT⊥PH，相交于圆r于R，T，则RHT切圆KHD于切点H。于是：∠RHK=∠HDK（弦切角定理）=∠ADK=∠AQ’K，于是： AQ’∥RT
显而易见：AQ’∥QA’（因为AA'和QQ’分别是圆的直径），所以：QA’∥RT。又因为：QHMA’四点共线；所以过H点的两条平行直线：QHMA’和RHT共线，于是：PH⊥HQ，
4）. 由：HQ是小圆直径，PH⊥HQ，于是：PH切小圆于H，从而PK切小圆于K。下面来证明PK与紫色中圆相切于K。
事实上，因为，P在BC的延长线上，且：PH⊥HQ，AF⊥BC， 所以：ΔPHF～ΔPMH，PH：PM=PF：PH，即：PH2=PF*PM。而PK=PH，所以：PK2=PF*PM，根据圆的割线定理，则PK相切圆MFK于K。证毕。
