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日志

奥数比赛,难题求解(二) --- 题解

已有 542 次阅读2015-7-25 17:14 |个人分类:逻辑分析|系统分类:原创博文 | 宽屏 请点击显示宽屏,再点击恢复窄屏 | 动漫全图 如只见部分动漫,请点击显示全图,再点击恢复窄图

这篇文章,我们直接给出题解。

几何证明题,有分析法和综合法两种方式。所谓分析法,是从结论入手,一步一步分析:如果结论成立,则条件A必成立,如果条件A成立,则条件B必成立,。。。直到追溯到已知条件。那么综合法,正好倒过来,就是从条件出发,一步一步,最后推到结论。这两种方法可以结合起来用,比如,思考分析时,用分析法,写出答案时,用综合法,因为直接利用综合法,从条件出发推向结论,对于复杂的题目,很难奏效,难免误入歧途。


即便在社会科学领域,应用综合法,也容易走入迷宫。比如,中国近代史,已经两次如是走入迷宫。一次是49年,共产党沿用马克思列宁的理论,用暴力革命的方式夺取政权。本来目的是让社会富裕平等,结果从条件出发,陷入暴力革命就出不来了。有很长时间,口号是“一切为了革命”,甚至把发展生产当作“为生产力论”来批判,以至于
前30年实现的基本是不富裕的“短缺社会主义”。而后30年,引入了改革,本来目标仍旧是富裕平等,不过又陷入了改革的怪圈走不出来,以至于现在有了富裕,但两级分化,缺失了平等。这个,在方法论中,大概也是思考问题直接应用综合法的弊端,从条件出发,一步步推演,最后没有达到目的,反而误入歧途。

好,下面我们用分析法,来求解这道复杂的题目。事实上,整个过程,可以分作若干小题目的求解。


原题可见:《
奥数比赛,难题求解(一) --- 题目

添加辅助线:

A',Q'分别为圆r上点 A,Q 的对称点,延长AHF与圆交于D。过D,H,K三点做圆,其圆心为P。



则:1)。QHMA’四点共线;2)。KHQ’三点共线;3)。P在BC的延长线上

注意:红色为通过观察的猜测,并无证明。


证明:

图中虚线大圆DHK和红色小圆HKQ,相交于H,K两点。

如果: PHHQ,那么因为HQ是小圆直径,则:PH切小圆于H,同理PK切小圆于K。

那么,如果要是能证明PK与紫色中圆相切于K,则题目得到证明。

事实上,因为,P在BC的延长线上且:PHHQ,AFBC, 所以:ΔPHFΔPMH,PH:PM=PF:PH,即:PH2=PF*PM。而PK=PH,所以:PK2=PF*PM,根据圆的割线定理,则PK相切圆MFK于K。证毕。


注意:上面用分析法进行证明,假定其中红色的条件为已知,我们要回过头来证明其正确性,见本文(三),(四)。


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