这篇文章，我们直接给出题解。

几何证明题，有分析法和综合法两种方式。所谓分析法，是从结论入手，一步一步分析：如果结论成立，则条件A必成立，如果条件A成立，则条件B必成立，。。。直到追溯到已知条件。那么综合法，正好倒过来，就是从条件出发，一步一步，最后推到结论。这两种方法可以结合起来用，比如，思考分析时，用分析法，写出答案时，用综合法，因为直接利用综合法，从条件出发推向结论，对于复杂的题目，很难奏效，难免误入歧途。

即便在社会科学领域，应用综合法，也容易走入迷宫。比如，中国近代史，已经两次如是走入迷宫。一次是49年，共产党沿用马克思列宁的理论，用暴力革命的方式夺取政权。本来目的是让社会富裕平等，结果从条件出发，陷入暴力革命就出不来了。有很长时间，口号是“一切为了革命”，甚至把发展生产当作“为生产力论”来批判，以至于前30年实现的基本是不富裕的“短缺社会主义”。而后30年，引入了改革，本来目标仍旧是富裕平等，不过又陷入了改革的怪圈走不出来，以至于现在有了富裕，但两级分化，缺失了平等。这个，在方法论中，大概也是思考问题直接应用综合法的弊端，从条件出发，一步步推演，最后没有达到目的，反而误入歧途。

好，下面我们用分析法，来求解这道复杂的题目。事实上，整个过程，可以分作若干小题目的求解。


原题可见：《奥数比赛，难题求解（一） --- 题目》

添加辅助线：

A'，Q'分别为圆r上点 A，Q 的对称点，延长AHF与圆交于D。过D,H，K三点做圆，其圆心为P。

则：1）。QHMA’四点共线；2）。KHQ’三点共线；3）。P在BC的延长线上。

注意：红色为通过观察的猜测，并无证明。

证明：

图中虚线大圆DHK和红色小圆HKQ，相交于H，K两点。

如果： PH⊥HQ，那么因为HQ是小圆直径，则：PH切小圆于H，同理PK切小圆于K。

那么，如果要是能证明PK与紫色中圆相切于K，则题目得到证明。

事实上，因为，P在BC的延长线上，且：PH⊥HQ，AF⊥BC， 所以：ΔPHF～ΔPMH，PH：PM=PF：PH，即：PH²=PF*PM。而PK=PH，所以：PK²=PF*PM，根据圆的割线定理，则PK相切圆MFK于K。证毕。

注意：上面用分析法进行证明，假定其中红色的条件为已知，我们要回过头来证明其正确性，见本文（三），（四）。